Question

已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得最小值m-1（m≠0）．设函数f（x）=

g(x)

x

（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为

6

，求m的值
（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．

解答： 解：（1）依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1，（a≠0），
则g′（x）=2a（x+1=2ax+2a，
又g′（x）的图象与直线y=2x平行，
∴2a=2，a=1，
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
设P（x₀，y₀），
则|PQ|²=

x

2 0

+（y₀+2）²=

x

2 0

+（x₀+

m

x0

）²=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m，
当且仅当2

x

2 0

=

m2

x 2 0

时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

6

，
当m＞0时，

(2 2 +2)m

=

6

，解得m=3（

2

-1）；
当m＜0时，

-(2 2 +2)m

=

6

，解得m=-3（

2

-1）；
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+

m

x

+2=0（x≠0），
得（1-k）x²+2x+m=0，（*）
当k=1时，方程（*）有一解x=-

m

2

，函数y=f（x）-kx有一零点x=-

m

2

；
当k≠1时，方程（*）有二解，∴△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-

1

m

，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
若m＜0，k＜1-

1

m

，
函数y=f（x）-kx有两个零点x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
当k≠1时，方程（*）有一解，
∴△4-4m（1-k）=0，k=1-

1

m

，
函数y=f（x）-kx有一零点x=

1

k-1

=-m；
综上，当k=1时，函数y=f（x）-kx有一零点x=-

m

2

；
当k＞1-

1

m

（m＞0），或k＜1-

1

m

（m＜0）时，函数y=f（x）-kx有两个零点x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
当k=1-

1

m

时，函数y=f（x）-kx有一零点x=

1

k-1

=-m．

点评：本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．