Question

已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），且

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若a，c，b成等差数列，且

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求边c的长．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：先根据数量积的定义把给的条件化成三角函数，再利用三角形内角和定理结合诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式进行化简得到关于C的方程求解；
把条件“

CA

•（

AB

-

AC

）=18”用三角形的边角表示出来是第二问的关键，然后利用余弦定理求出c的值．

解答： 解  （Ⅰ）由已知得

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
又∵在△ABC中，A+B+C=π，∴A+B=π-C，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，又∵

m

•

n

=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=

1

2

，又0＜C＜π，
∴C=

π

3

．
（Ⅱ）由a，c，b成等差数列，2c=a+b，
由

CA

•(

AB

-

AC

)=18，∴

CA

•

CB

=18，即abcosC=18，
由（Ⅰ）知cosC=

1

2

，所以ab=36，
由余弦弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，
∴c=6

点评：向量与三角函数的综合，向量是工具，是手段，考查的落脚点是三角函数的变换公式、图象与性质，三角形中的正余弦定理．