【题目】已知.
(1)求证:恒成立;
(2)试求的单调区间;
(3)若,
,且
,其中
,求证:
恒成立.
【答案】(1) 证明见解析;(2) 单调递增区间为,无单调递减区间。 (3)证明见解析
【解析】
(1)构造函数,利用导数求出函数
的最小值,利用
来证明所证不等式成立;
(2)先解等式可得出函数
的定义域,求出该函数的导数
,利用(1)中的结论得出
在定义域内恒成立,由此可得出函数
的单调区间;
(3)证法一:利用分析法得出要证,即证
,利用数学归纳法和单调性证明出
对任意的
恒成立,再利用(1)中的不等式即可得证;
证法二:利用数学归纳法证明,先验证当
时,不等式成立,即
,再假设当
时不等式成立,即
,利用函数
的单调性得出
,由归纳原理证明所证不等式成立.
(1)令,则
,由
得
,由
得
.
函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
,即
恒成立;
(2)由得
或
,
函数
的定义域为
,
因为,
由(1)可知当时,
恒成立,且
,
.
函数
单调递增区间为
,
,无单调递减区间;
(3)证法一:,要证
,即证
,
即证,即证
.
先证对任意,
,即
,即
.
构造函数,其中
,则
,
则函数在
上单调递增,
,
所以,对任意的,
,即
,
.
下面证明对任意的,
.
,
.
假设当时,
,则当
时,
.
由上可知,对任意的,
.
由(1)可知,当时,
,
,
,
因此,对任意的,
;
证法二:数学归纳法
①当时,
,
,
,
,即
成立;
②假设当时结论成立,即
成立.
由(2)知,函数在
上单调递增,
,
又,
,
,
当
时结论成立
综合①②,恒成立.
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【题目】为弘扬民族古典文化,市电视台举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答,回答正确将给该选手记正10分,否则记负10分.根据以往统计,某参赛选手能答对每一个问题的概率均为;现记“该选手在回答完
个问题后的总得分为
”.
(1)求且
(
)的概率;
(2)记,求
的分布列,并计算数学期望
.
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【题目】已知函数;
(1)当时,若
,求
的取值范围;
(2)若定义在上奇函数
满足
,且当
时,
,
求在
上的反函数
;
(3)对于(2)中的,若关于
的不等式
在
上恒成立,求实
数的取值范围;
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【题目】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
③各面都是面积相等的三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A. ①B. ②C. ①②③D. ③
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【题目】已知圆上一动点
,过点
作
轴,垂足为
点,
中点为
.
(1)当在圆
上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与
交于
两点,当
时,求线段
的垂直平分线方程.
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【题目】为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系分别如图①、②所示.
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜?
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