Question

24、P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的

内

心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的

外

心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的

垂

心．

Answer 1

分析：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OE=OF=OD，三线段分别垂直于对应的边，可得其为内心；同理可得P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的外心；PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心．

解答：解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填：内；
若P到△ABC三个顶点的距离相等，由由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填：外；
若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填：垂．
综上，三空答案依次应为内，外，垂．

点评：本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型．