Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（a+b+2，1），$\overrightarrow{μ}$=（2，1）．
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，求a的最小值；
（2）求证：$\overrightarrow{m}$ 与$\overrightarrow{n}$的夹角不是钝角．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，利用向量平行的性质得到a=2（${b}^{2}-b+\frac{7}{3}$）=2（$b-\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，由此能求出a的最小值．
（2）利用向量的数量积求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=${a}^{2}+（b+2）a+{b}^{2}-b+\frac{7}{3}$，从而$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$是关于a的二次函数，利用根的差别式推导出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≥0恒成立，由此能证明$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夹角不是钝角．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{μ}$=（2，1），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，
∴由题意得a=2（${b}^{2}-b+\frac{7}{3}$）=2（$b-\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
∴当b=$\frac{1}{2}$时，a取最小值a_min=$\frac{25}{6}$．
证明：（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（a+b+2，1），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=a（a+b+2）+${b}^{2}-b+\frac{7}{3}$
=${a}^{2}+（b+2）a+{b}^{2}-b+\frac{7}{3}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$是关于a的二次函数，
∵$△=（b+2）^{2}-4（{b}^{2}-b+\frac{7}{3}）$=-3b²+8b-$\frac{16}{3}$=-3（b-$\frac{4}{3}$）²≤0，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≥0恒成立，
故$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夹角不是钝角．

点评 本题考查实数的最小值的求法，考查两向量的夹角不是钝角的证明，考查向量平行、向量的数量积、二次函数、根的判别式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．