Question

已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=

2-m

2

，根据g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得

2-m

2

≤-2或

2-m

2

≥2，从而可求实数m的取值范围；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为x=-

3+k

2k

，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[-1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x²+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=

2-m

2

∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴

2-m

2

≤-2或

2-m

2

≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为x=-

3+k

2k

①k＞0时，函数图象开口向上，x=-

3+k

2k

＜0，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k=-

11

20

＜0，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下，x=-

3+k

2k

=-

1

2

-

3

2k

＞-

1

2

，
1°若-

1

2

＜-

3+k

2k

≤4，即k≤-

1

3

时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（-

3+k

2k

）=

12k-(k+3)2

4k

=4
∴k²+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若-

3+k

2k

＞4，即-

1

3

＜k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴k=-

11

20

＜-

1

3

，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．