Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上是增函数，求a的取值范围（e为自然对数的底数）．
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解．

Answer 1

解：（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+，
令f′（x）=-1+=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+，由x∈（0，e]，得，
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+≥0在（0，e]上恒成立，所以a在（0，e]上恒成立，
由，知，即
所以当a时，a恒成立，
故所求a的取值范围为：a
（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=，则g′（x）=
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=，
从而g（x），又，所以方程|f（x）|=无实数解．
分析：（1）把a=1代入已知，由极值的定义易得答案；
（2）f（x）在区间（0，e]上是增函数转化为其导数f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，只需分离a，化为函数的最值即可；
（3）由（1）知|f（x）|≥1，令g（x）=，可求得其最大值，检验是否适合|f（x）|≥1，可得结论．
点评：本题为导数的综合应用，涉及极值最值以及恒成立问题，属中档题．