Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数在点点处的切线方程；

（2）当时，求函数的极值点和极值；

（3）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的极大值，函数无极小值;（3）.

【解析】试题分析：1）求出导函数，求解切线的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切线方程；

（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值即可；

（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通过若a≤0，若，若，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．

试题解析：

（1）由题，所以，

所以切线方程为：

（2）由题时， ，所以

所以； ，

所以在单增，在单减，所以在取得极大值.

所以函数的极大值，函数无极小值

（3），令，

，令，

（1）若， ， 在递增，

∴在递增， ，从而，不符合题意

（2）若，当， ，∴在递增，

从而，以下论证同（1）一样，所以不符合题意

（3）若， 在恒成立，

∴在递减， ，

从而在递减，∴， ，

综上所述， 的取值范围是.