Question

15．已知a＞0，二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{2a}{x}$）⁶展开式中的常数项为240，则${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$sin（x-$\frac{π}{3}$）dx=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再令x的次数为0，求出a，再由定积分的运算法则，即可求得

解答 解：二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{2a}{x}$）⁶展开式的通项公式为：T_k+1=${C}_{6}^{k}（2a）^{k}{x}^{\frac{6-3k}{2}}$
令6-3k=0，则k=2．
即有C₆³•（2a）³=240，即a=2．
则${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$sin（x-$\frac{π}{3}$）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sin（x-$\frac{π}{3}$））dx=-cos（x-$\frac{π}{3}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{π}{6}$-cos$\frac{π}{3}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．