Question

如图所示茎叶图记录了甲、乙两名跳水运动员进行跳水训练的成绩（分数），每名运动员跳水次数均为4次．
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员跳水成绩的方差，并比较两名运动员成绩的稳定性；
（Ⅱ）每次都从甲、乙两组成缋中随机各选取一个进行比对分析，共选取了3次（有放回选取）．设选取的两个成绩中甲的成绩大于乙的成绩的次数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由茎叶图知，甲的跳水成绩是：6，7，9，10，乙的跳水成绩是：5，7，10，10，分别求出方差，能判断甲运动员的成绩稳定．
（Ⅱ）从甲、乙两组成绩中各随机选取一个，要使甲的成绩大于乙的成绩，当乙选取5分时，一定满足要求，当乙选取7分时，甲只能从9分，10分中选取，由此能求出甲的成绩大于乙的成绩的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由茎叶图知，甲的跳水成绩是：6，7，9，10，
乙的跳水成绩是：5，7，10，10，
甲、乙的平均成绩均为8分，
S甲2=

1

4

[（6-8）²+（7-8）²+（9-8）²+（10-8）²]=

5

2

，
S乙2=

1

4

[（5-8）²+（7-8）²+（10-8）²+（10-8）²]=

9

2

，
∵S甲2＜S乙2，∴甲运动员的成绩稳定．
（Ⅱ）从甲、乙两组成绩中各随机选取一个，要使甲的成绩大于乙的成绩，
当乙选取5分时，一定满足要求，此时的概率为p1=

4

16

=

1

4

，
当乙选取7分时，甲只能从9分，10分中选取，此时的概率为p₂=

2

16

=

1

8

，
∴甲的成绩大于乙的成绩的概率为p=p₁+p₂=

1

4

+

1

8

=

3

8

．

点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．