Question

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C₁：

|x|

a

+

|y|

b

=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4

2

，曲线C₁上的点到原点O的最短距离为

2 2

3

．以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO=2OA，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）曲线C₁所围成的图形为菱形，由菱形的面积为4

2

，结合原点到菱形一边的距离为

2 2

3

列关于a，b的方程组，求解后得椭圆C₂的标准方程；
（2）①AB为过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，则l过坐标原点O，设出A点和M点的坐标，
由MO=2OA，可得|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0，由此把A的坐标用M的坐标表示，然后把A的坐标代入椭圆方程求得点M的轨迹方程；
②法1、设出M点的坐标，由OM和OA垂直，把A的坐标用参数λ和M的坐标表示，然后利用两点都在椭圆上列式，整体运算把M的坐标用参数λ表示，代入三角形的面积公式后转化为含有λ的代数式，然后利用基本不等式求△AMB的面积的最小值．
法2、分AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求解，斜率存在时，设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后求出A点坐标，进一步求得AB长度的平方，在写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求得M的坐标，求得OM长度的平方，然后写出△AMB的面积的平方，利用基本不等式求得△AMB的面积的平方后面积的最小值可求．

解答： 解：（1）由

|x|

a

+

|y|

b

=1，得

x a + y b =1(x≥0，y≥0) - x a + y b =1(x＜0，y≥0) x a - y b =1(x≥0，y＜0) - x a - y b =1(x＜0，y＜0)

，
又a＞b＞0，
∴曲线C₁如图，

则

2ab=4 2 ab a2+b2 = 2 2 3

，解得a²=8，b²=1．
因此所求椭圆的标准方程为

x2

8

+y2=1；
（2）①设M（x，y），A（m，n），
则由题设知：|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0．
即

x2+y2=4(m2+n2)  mx+ny=0

，
解得

m2= 1 4 y2  n2= 1 4 x2

，
∵点A（m，n）在椭圆C₂上，
∴

m2

8

+n2=1，
即

( y 2 )2

8

+(

x

2

)2=1，亦即

x2

4

+

y2

32

=1．
∴点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

32

=1；
②（方法1）设M（x，y），则A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
∵点A在椭圆C₂上，
∴λ²（y²+8x²）=8，即y2+8x2=

8

λ2

（i）
又x²+8y²=8（ ii）
（i）+（ ii）得x2+y2=

8

9

(1+

1

λ2

)，
∴S△AMB=OM•OA=|λ|(x2+y2)=

8

9

(|λ|+

1

|λ|

)≥

16

9

．
当且仅当λ=±1（即k_AB=±1）时，(S△AMB)min=

16

9

．
（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，
设AB所在直线方程为y=kx（k≠0）．
解方程组

x2 8 +y2=1  y=kx

得xA2=

8

1+8k2

，yA2=

8k2

1+8k2

，
∴OA2=xA2+yA2=

8

1+8k2

+

8k2

1+8k2

=

8(1+k2)

1+8k2

，AB2=4OA2=

32(1+k2)

1+8k2

．
又

x2 8 +y2=1 y=- 1 k x

解得xM2=

8k2

k2+8

，yM2=

8

k2+8

，
∴OM2=

8(1+k2)

k2+8

．
由于S△AMB2=

1

4

AB2•OM2=

1

4

×

32(1+k2)

1+8k2

×

8(1+k2)

k2+8

=

64(1+k2)2

(1+8k2)(k2+8)

≥

64(1+k2)2

( 1+8k2+k2+8 2 )2

=

64(1+k2)2

81 4 (1+k2)2

=

256

81

，
当且仅当1+8k²=k²+8时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S_△AMB=

16

9

． 
当k=0，S_△AMB=

1

2

×4

2

×1=2

2

＞

16

9

；
当k不存在时，S_△AMB=

1

2

×2

2

×2=2

2

＞

16

9

．
综上所述，△AMB面积的最小值为

16

9

．

点评：本题考查了椭圆轨迹方程的求法，训练了利用代入法求动点的轨迹问题，在求△AMB的面积的最小值时，运用了一题多解的办法，方法1充分体现了向量在解决问题中的灵活性，方法2是学生容易想到的办法，但运算量过大，要求学生具有较强的计算能力，两种方法都涉及到利用基本不等式求最值，是压轴题．