Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2015}$|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“海宝”函数．给出下列函数：
①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=3^x+1
其中f（x）是“海宝”函数的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=x²≤$\frac{k}{2015}$|x|，x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2015|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，即可判断出结论；
同理可得②④也不是“海宝”函数．
对于③：假设函数f（x）是“海宝”函数：则|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤$\frac{k}{2015}$|x|，x≤0时，成立；当x＞0时，化为$\frac{1}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{k}{2015}$，可得：k≥$\frac{8060}{3}$，即可判断出结论．

解答 解：对于①：假设函数f（x）是“海宝”函数：则f（x）=x²≤$\frac{k}{2015}$|x|，x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2015|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“海宝”函数；
同理可得②④也不是“海宝”函数．
对于③：假设函数f（x）是“海宝”函数：则|f（x）|=|$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$|≤$\frac{k}{2015}$|x|，x≤0时，只要取：k≥$\frac{8060}{3}$，成立；当x＞0时，化为$\frac{1}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤$\frac{k}{2015}$，
可得：k≥$\frac{8060}{3}$，因此只要取：k≥$\frac{8060}{3}$，则函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$是“海宝”函数．
故选：A．

点评 本题考查了新定义“海宝”函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．