Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，则双曲线的渐近线的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．

解答： 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），其准线方程为x=-

p

2

∵准线经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点
∴a=

p

2

，
∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，
∴M的横坐标为

3p

2

，
代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±

3

p，
将M的坐标代入双曲线方程，可得

( 3 2 p)2

( p 2 )2

-

3p2

b2

=1，∴b2=

3

8

p2，
即b=

6

4

p，
∵双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
∴渐近线方程为y=±

6 4 p

p 2

x=±

6

2

x，
故答案为：y=±

6

2

x

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键