Question

14．已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有$\frac{PB}{PA}$为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

分析 先设存在，利用都有$\frac{PB}{PA}$为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．

解答 解：假设存在这样的点B（t，0），使得$\frac{PB}{PA}$为常数λ，则PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，将y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0对x∈[-3，3]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{λ}^{2}+t=0}\\{34{λ}^{2}-{t}^{2}-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=0.6}\\{t=-1.8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}\right.$（舍去），
所以存在点B（-1.8，0）对于圆C上任一点P，都有$\frac{PB}{PA}$为常数0.6．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，探究性问题，考查计算能力．是中档题．