Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$P（\sqrt{2}，1）$．直线y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式，求得a²=2b²，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，求得m的取值范围，利用韦达定理，弦长公式，根二次函数的性质，即可求得△PAB的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₁，根据韦达定理和直线的斜率公式求得k₁+k₂=0，则∠PMN=∠PNM，则丨PM丨=丨PN丨．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，
由椭圆C的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b²，[（1分）]
将点$P（\sqrt{2}，1）$代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．  解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，[（3分）]
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；．[（4分）]
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得x²+$\sqrt{2}$mx+m²-2=0．[（5分）]
令△=2m²-4（m²-2）＞0，解得-2＜m＜2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-2．
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{4-{m}^{2}}$，[（6分）]
点$P（\sqrt{2}，1）$．到直线x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{2}$m=0的距离为d=$\frac{丨\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}m丨}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}丨m丨}{\sqrt{3}}$．[（7分）]
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨m丨•$\sqrt{4-{m}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{-（{m}^{2}-2）^{2}+4}$≤$\sqrt{2}$，[（8分）]
当且仅当m=±$\sqrt{2}$时，S=$\sqrt{2}$．
则△PAB的面积的最大值$\sqrt{2}$；[（9分）]
（Ⅲ）丨PM丨=丨PN丨．证明如下：[（10分）]
设直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₁，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-\sqrt{2}）+（{y}_{1}-1）（{x}_{1}-\sqrt{2}）}{（{x}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$，[（11分）]
由（Ⅱ）得（y₁-1）（x₂-$\sqrt{2}$）+（y₂-1）（x₁-$\sqrt{2}$），
=（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x₁+m-1）（x₂-$\sqrt{2}$）+（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x₁+m-1）（x₁-$\sqrt{2}$），
=$\sqrt{2}$x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$（m-1），
=$\sqrt{2}$（m²-2）+（m-2）（-$\sqrt{2}$m）-2$\sqrt{2}$（m-1）=0，
∴直线PA，PB的倾斜角互补．[（13分）]
∴∠1=∠2，
∴∠PMN=∠PNM．
∴丨PM丨=丨PN丨．[（14分）]

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与二次函数取值最值的综合应用，考查计算能力，属于中档题．