Question

11．已知函数f（x）=x|x-2|，则不等式f（2-ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}．

Answer 1

分析 由题意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）_max=1＜f（3）=3．f（2-ln（x+1））＞f（3）化为2-ln（x+1）＞3，即可解不等式．

解答 解：由题意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2}\\{-{x}^{2}+2x，x＜2}\end{array}\right.$，在（2，+∞）单调递增，
x＜2，f（x）_max=1＜f（3）=3．
∵f（2-ln（x+1））＞f（3），∴2-ln（x+1）＞3，
∴ln（x+1）＜-1，∴0＜x+1＜$\frac{1}{e}$，
∴-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1，
∴不等式f（2-ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}，
故答案为{x|-1＜x＜$\frac{1}{e}$-1}．

点评 此题考查了其他不等式的解法，解决此类问题的关键是正确利用函数的单调性，结合不等式的解法解出x的范围，此知识点是高考考查的重点之一．