Question

1．已知F₁、F₂分别为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P在椭圆E上，且|PF₁|的最小值为1，最大值为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过F₁的直线l₁，l₂分别交椭圆E于点A，C和B，D，且l₁⊥l₂，则$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$是否为常数？若是，求出该常数的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a-c=1，a+c=3，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可知：|PF₁|_min=a-c=1，|PF₁|_max=a+c=3，
解得：a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，则丨AC丨=2a=4，丨BD丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，
$\frac{1}{丨AC丨}$+$\frac{1}{丨BD丨}$=$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$=$\frac{7}{12}$；
则$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$是常数$\frac{7}{12}$；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，并化简得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵直线BD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
∴|BD|=$\frac{12[1+（-\frac{1}{k}）]}{3+4（-\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴则$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$=$\frac{1}{丨AC丨}$+$\frac{1}{丨BD丨}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$+$\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$；
综上：则$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$为常数$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．