Question

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}{b^2}$．．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M$（\frac{a}{2}，\frac{b}{2}）$．利用$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}{b^2}$与离心率的计算公式即可得出．
（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k₂x+1，直线AD的方程为：y=k₁（x-2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用k_CD=$\frac{{y}_{C}-{y}_{D}}{{x}_{C}-{x}_{D}}$=-$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 （1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M$（\frac{a}{2}，\frac{b}{2}）$．
$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{OM}$=$（\frac{a}{2}，\frac{b}{2}）$．
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}{b^2}$．
∴$-\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}{b}^{2}$=-$\frac{3}{2}$b²，化为：a=2b．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）证明：由a=2，可得b=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，A（2，0），B（0，1）．
直线BC的方程为：y=k₂x+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+$4{k}_{2}^{2}$）x²+8k₂x=0，
解得x_C=$\frac{-8{k}_{2}}{1+4{k}_{2}^{2}}$，∴y_C=$\frac{1-4{k}_{2}^{2}}{1+4{k}_{2}^{2}}$．即C（$\frac{-8{k}_{2}}{1+4{k}_{2}^{2}}$，$\frac{1-4{k}_{2}^{2}}{1+4{k}_{2}^{2}}$）．
直线AD的方程为：y=k₁（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：$（1+4{k}_{1}^{2}）$x²-16${k}_{1}^{2}$x+$16{k}_{1}^{2}$-4=0，
∴2x_D=$\frac{16{k}_{1}^{2}-4}{1+4{k}_{1}^{2}}$，解得x_D=$\frac{8{k}_{1}^{2}-2}{1+4{k}_{1}^{2}}$，y_D=$\frac{-4{k}_{1}}{1+4{k}_{1}^{2}}$，可得D（$\frac{8{k}_{1}^{2}-2}{1+4{k}_{1}^{2}}$，$\frac{-4{k}_{1}}{1+4{k}_{1}^{2}}$）
∴k_CD=$\frac{{y}_{C}-{y}_{D}}{{x}_{C}-{x}_{D}}$=-$\frac{1}{2}$，
化为：1-16${k}_{1}^{2}{k}_{2}^{2}$+2k₁-2k₂+8${k}_{1}{k}_{2}^{2}$-8${k}_{2}{k}_{1}^{2}$=0．
∴$（{k}_{1}{k}_{2}-\frac{1}{4}）$（4k₁k₂+4k₁-4k₂+1）=0，
∴k₁k₂=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．