Question

12．已知椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由椭圆右焦点F（1，0），△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，求出a，b，由此能求出椭圆Γ的方程．
（II）法一：当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k，则AC的直线方程为$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，由此能求出直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．
法二：设AB方程：y=kx+m，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、直线方程、椭圆性质，结合已知条件，能求出直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（I）因为椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F（1，0），
所以c=1，
因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，
所以MF=3NF，即a+c=3（a-c），所以a=2c=2，所以b²=3，
则椭圆Γ的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．   …（4分）
（II）解法一：当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，
设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为-k，
不妨设点C在x轴上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则AC的直线方程为$y-\frac{3}{2}=k（{x-1}）$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中整理得（3+4k²）x²-4k（2k-3）x+4k²-12k-3=0，$1+{x_1}=\frac{{4k（{2k-3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$；
同理$1+{x_2}=\frac{{4k（{2k+3}）}}{{（{3+4{k^2}}）}}$．  …（8分）
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}-6}}{{（{3+4{k^2}}）}}$，${x_1}-{x_2}=\frac{-24k}{{（{3+4{k^2}}）}}$，…（10分）
则${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{{x_1}+{x_2}}）-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{1}{2}$，
因此直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$． …（12分）
（II）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m，
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，…（6分）
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=16（12k²-3m²+9）＞0
当∠ACD=∠BCD，则k_AC+k_BC=0，不妨设点C在x轴上方，$C（{1，\frac{3}{2}}）$，
所以$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=0$，整理得$2k{x_1}{x_2}+（m-\frac{3}{2}）（{x_1}+{x_2}）-2m+3=0$，…（8分）
所以$2k•\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+（m-\frac{3}{2}）（-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}）-2m+3=0$，
整理得12k²+12（m-2）k+9-6m=0，…（9分）
即（6k-3）（2k+2m-3）=0，所以2k+2m-3=0或6k-3=0．…（10分）
当2k+2m-3=0时，直线AB过定点$C（{1，\frac{3}{2}}）$，不合题意；
当6k-3=0时，$k=\frac{1}{2}$，符合题意，
所以直线AB的斜率是定值$\frac{1}{2}$． …（12分）

点评 本题考查椭圆方程、韦达定理、根的判别式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．