Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中点．
（1）求证：A₁B∥平面AEC₁；
（2）在棱AA₁上存在一点M，满足B₁M⊥C₁E，求平面MEC₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C交AC₁于点O，连结EO，推导出EO∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面AEC₁．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连结A₁C交AC₁于点O，连结EO，
∵ACC₁A₁是正方形，∴O为A₁C的中点，
又E为CB的中点，∴EO∥A₁B，
∵EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
∴A₁B∥平面AEC₁．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B₁（2，0，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2），E（1，1，0），
设M（0，0，m），（0≤m≤2），则$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-2，0，m-2），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（1，-1，-2），
∵B₁M⊥C₁E，∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-2-2（m-2）=0，解得m=1，
∴M（0，0，1），$\overrightarrow{ME}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=（0，2，1），
设平面MEC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（3，-1，2），
∵AC⊥平面ABB₁A₁，∴取平面ABB₁A₁的法向量为$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴平面MEC₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．