Question

17．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD，PA=AC=2AD=4，AB=BC=2$\sqrt{5}$，M，N分别为PD，PB，CD的中点．
（1）求证：平面MBE⊥平面PAC；
（2）求三棱锥B-AME的体积．

Answer 1

分析 （1）设F为AC的中点，连结BF和EF，推导出EF⊥AC，EF⊥AC，BE⊥AC，PA⊥BE，从而BE⊥平面PAC，由此能证明BE⊥PC．
（2）三棱锥B-AME的体积：V_B-AME=V_M-ABE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）设F为AC的中点，连结BF和EF，
∵AB=BC，∴BF⊥AC，
∵E为CD的中点，∴EF∥AD，
又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC，
∵E为CD的中点，∴EF∥AD，
又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC，
∴B、F、E三点共线，∴BE⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，∴BE⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BE⊥PC．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，且M为PD的中点，
∴点M到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}$PA=2，
由（1）知AF=$\frac{1}{2}$AC=2，EF=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵BF⊥AF，且AB=2$\sqrt{5}$，∴BF=$\sqrt{A{{B}^{2}-A{F}^{2}}_{\;}}$=4，
∴BE=BF+EF=5，
∴三棱锥B-AME的体积：
V_B-AME=V_M-ABE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BE×AF×\frac{1}{2}PA$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．