Question

9．在直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象记为I′，若在I′上任取一点M，都能在I′上找到一点N，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，则称图象I′为“优美图象”．下列函数的图象为“优美图象”的是（　　）

• A． y=2^x+1
• B． y=log₃（x-2）
• C． y=$\frac{2}{x}$
• D． y=cosx

Answer 1

分析 根据题意，得出函数y=f（x）图象上任一点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为图象上另一点，且满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0；分别举反例或证明A、B、C中的函数不成立，D中的余弦函数满足题意．

解答 解：根据题意，直角坐标系xOy中，设函数y=f（x）图象上任一点M（x₁，y₁），
N（x₂，y₂）为图象上另一点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=0；
对于A，任取函数y=2^x+1图象上一点M（-1，1），设N（x，y），
则应满足-x+2^x+1=0，结合函数的图象知该方程无解，∴A中函数不成立；
对于B，任取函数y=log₃（x-2）图象上一点M（3，0），设N（x，y），
则应满足3x=0，则x=0，这与函数的定义域（2，+∞）矛盾，
∴N点不存在，即B中函数不成立；
对于C，x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$≥2或≤-2，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=0不成立，
即C中函数一定不成立；
对于D，根据余弦函数的图象，
在函数图象上任取一点M，都可以在图象上找到一点N，
满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴D中的函数满足题意．
故选：D．

点评 本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，考查了数形结合思想的应用问题，是综合性题目．