Question

17．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，对判别式讨论，即当a≥$\frac{1}{2}$时，当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，a≤0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即为 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
①当△=4-8a≤0，即a≥$\frac{1}{2}$时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当△=4-8a＞0即a＜$\frac{1}{2}$时，由2x²-2x+a=0，得x=$\frac{1±\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＜0，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
a≤0时，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$≤0，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）递减，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）递增，
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＞0，
f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$）递减，在（ $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）递增，
在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）递减；
综上，当a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞），
单调递减区间是（  $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）；
a≤0时，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）递减，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）递增；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，
由（1）可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，则x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx，（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，则-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即$\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．