Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2e}$-ax．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）由ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，即为lnx-2ax+$\frac{1}{2}$≤的最大值，显然a＞0，设g（x）=lnx-2ax-$\frac{1}{2}$，求出导数和单调区间，可得最大值，进而得到-$\frac{1}{2}$≥-ln（2a）-1①，再由f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$恒成立，运用配方法，可得-$\frac{1}{2}$≤-2ea²，②，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2e}$-$\frac{1}{2}$x，
导数为f′（x）=$\frac{x}{e}$-$\frac{1}{e}$，
可得曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线斜率为k=f′（e）=$\frac{1}{2}$，
切点为（e，0），
则曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y-0=$\frac{1}{2}$（x-e），
即有x-2y-e=0；
（2）ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，
即为lnx-2ax+$\frac{1}{2}$≤0，设g（x）=lnx-2ax+$\frac{1}{2}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a，若a≤0，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）递增，无最值；
故a＞0，则当x＞$\frac{1}{2a}$，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜$\frac{1}{2a}$，g′（x）＞0，g（x）递增；
可得g（x）在x=$\frac{1}{2a}$处取得极大值，且为最大值-ln（2a）-$\frac{1}{2}$；
则ln（2a）+$\frac{1}{2}$≥0，解得：a≥$\frac{\sqrt{e}}{2e}$，①
由f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$，即为$\frac{{x}^{2}}{2e}$-2ax+$\frac{1}{2}$≥0，
由 $\frac{{x}^{2}}{2e}$-2ax=$\frac{1}{2}$（x-2ea）²-2ea²，
当x=2ea时，取得最小值-2ea²，
则-$\frac{1}{2}$≤-2ea²，解得：-$\frac{\sqrt{e}}{2e}$≤a≤$\frac{\sqrt{e}}{2e}$②
综上，a=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数和二次函数的性质，考查化简整理的运算能力，属于难题．