Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由题意易得圆心和半径，可得c值，再由直线和圆相切可得bc的关系可得b值，再由a²=c²-b²可得a值，可得双曲线方程．

解答 解：∵圆C：x²+y²+6x+5=0可化为（x+3）²+y²=4，
即圆的圆心C（-3，0），半径r=2，
∵圆C的圆心是双曲线的一个焦点，∴c=3，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线y=$\frac{b}{a}$x即bx-ay=0与圆C相切，
∴$\frac{|-3b-a•0|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，即$\frac{3b}{c}$=2，解得b=$\frac{2c}{3}$=2，
∴a²=c²-b²=9-4=5，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，涉及直线和圆的位置关系，属中档题．