Question

9．如图1，梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，点E在线段AD上，AE=AB=BC=2，∠A=60°，现将三角形ABE沿BE折起，如图2，记$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=λ
（1）当λ=1时，求证：平面ABE⊥平面BCDE；
（2）当λ=2时，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）当λ=1时，根据向量数量积的定义求出AFC是等腰直角三角形，结合面面垂直的判定定理即可证明平面ABE⊥平面BCDE；
（2）当λ=2时，得到三棱锥A-BCE是正三棱锥，作出二面角的平面角即可求二面角A-CD-B的余弦值．

解答 证明：（1）在梯形ABCD中，AE=AB=BC=2，∠A=60°，
∴四边形ABCE是菱形，CD=EG=$\sqrt{3}$，DE=1，AF=FC=$\sqrt{3}$，
当λ=1时，则$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=AB•BCcos∠ABC=2×2cos∠ABC=1，
即cos∠ABC=$\frac{1}{4}$．
则在四棱锥中AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠ABC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$，
则满足AF²+FC²=AC²，即△AFC是等腰直角三角形，
则AF⊥FC，
∵AF⊥BE，BE∩FC=F，
∴AF⊥平面BCDE，
∵AF?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE．

（2）若当λ=2时，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=AB•BCcos∠ABC=2×2cos∠ABC=2，
即cos∠ABC=$\frac{1}{2}$．
则△ABC，△AEC是正三角形，
即三棱锥A-BCE是正三棱锥，则A在底面的射影是底面△BCE的中心O，
在梯形ABCD中，过B作BH⊥EC，则H是EC的中点，连接AC交BH于O，
则O是△BCE的中心，
过O作OK⊥CD，
则OK=DE=1，CK=OKtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
连接AK，则AK⊥CD，
即∠AKO是二面角A-CD-B的平面角，
则AK=$\sqrt{A{C}^{2}-C{K}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
则cos∠AKO=$\frac{OK}{AK}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{33}}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$

即二面角A-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及二面角的求解，根据向量数量积的定义分别确定AC的长度是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．