Question

18．三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，则二面角A-BD-C的平面角的正切值是-2．

Answer 1

分析 作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，求出平面CBD的一个法向量为 $\overrightarrow{{n}_{1}}$以及平面ABD的一个法向量为 $\overrightarrow{{n}_{2}}$，求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．然后即可求出正切值．

解答 解：∵平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，
∴设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：
O（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），B（0，$\frac{1}{2}$，0），C（0，$\frac{3}{2}$，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$），显然$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，1）则
（x，y，1）•$\overrightarrow{AB}$=（x，y，1）$•（0，\frac{1}{2}，\;-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=0
（x，y，1）•$\overrightarrow{AD}$=（x，y，1）$•（\frac{\sqrt{3}}{2}，0，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=0
解得  x=1，y=$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\sqrt{3}$，1）
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A-BD-C大小为θ，则θ为钝角，则|cosθ|=$\frac{\overrightarrow{|{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}|}}{|\overrightarrow{{n}_{1}|}×\overrightarrow{|{n}_{2}|}}$=$\frac{1}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查空间角的计算，二面角求解，考查转化的思想方法，计算能力．建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．