Question

12．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x₂•x₁=1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．

解答 解：∵y=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$当且仅当x=1时取等号，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{y}$
∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，
设A点的坐标为（x₁，y），B点的坐标为（x₂，y），
则圆柱的底面圆的半径为y，高位h=x₂-x₁，
∵f（x₁）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$，f（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$，
即（x₂-x₁）（x₂•x₁-1）=0，
∴x₂•x₁=1，
∴h²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）²-4=$\frac{1}{{y}^{2}}$-4，
∴h=$\frac{\sqrt{1-4{y}^{2}}}{y}$，
∴V_圆柱=πy²•h=πy$\sqrt{1-4{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}π$•$\sqrt{4{y}^{2}（1-4{y}^{2}）}$
≤$\frac{1}{2}$π•（$\frac{4{y}^{2}+（1-4{y}^{2}）}{2}$）=$\frac{1}{4}$π，当且仅当y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时取等号，
故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为$\frac{1}{4}$π，
故选：C．

点评 本题主要考查空间几何体的体积计算，基本不等式的应用，本题求出x₂•x₁=1是关键，属于中档题．