Question

6．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a为常数）有两个不同的极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x₁，x₂，若不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由f′（x）=0有两个不同的正根，即x²-ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；
（2）利用韦达定理，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$，（x＞0），
f（x）有2个不同的极值点，
即方程x²-ax+a=0有2个不相等的正根，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞4；
（2）由（1）得x₁+x₂=a，x₁x₂=a，a＞4，
∴f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$-ax₁+alnx₂+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$-ax₂
=aln（x₁x₂）+$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{2}$-x₁x₂-a（x₁+x₂）=a（lna-$\frac{a}{2}$-1），
不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，
即λ＞$\frac{a（lna-\frac{a}{2}-1）}{a}$=lna-$\frac{a}{2}$-1恒成立，
记h（a）=lna-$\frac{a}{2}$-1，（a＞4），
则h′（a）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$＜0，则h（a）在（4，+∞）递减，
故h（a）＜h（4）=ln4-3，
即λ≥ln4-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道中档题．