Question

17．已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这 个长方体体积的最大值为192．

Answer 1

分析 以投影面为底面，易得正方体的高为$\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，设长方体底面边长分别为a，b，可得a²+b²=64，可得V=6ab，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：以投影面为底面，易得正方体的高为$\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，
设长方体底面边长分别为a，b，则a²+b²=64，
∴V=6ab≤3（a²+b²）=192．当且仅当a=b=4$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：192．

点评 本题考查了空间位置关系、长方体的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．