Question

7．设点F₁、F₂分别为双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P，满足|PF₁|=|PF₂|，点F₁到直线PF₂的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{41}}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．

解答 解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影是其中点，
由勾股定理知可知|PF₁|=2$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=4b
根据双曲定义可知丨PF₁丨-|PF₂|=2a，即|4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，求得 $\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$；
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三角形的性质与双曲线的定义的应用，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．