Question

12．已知△ABC的直角顶点A在y轴上，点B（1，0），D为斜边BC的中点，且AD平行于x轴．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线Γ，直线BC与Γ的另一个交点为E，以CE为直径的圆交y轴于点M，N，记圆心为P，∠MPN=α，求α的最大值．

Answer 1

分析 （1）设C（x，y），用x，y表示出A点坐标，根据AB⊥AC列方程化简即可；
（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算cos$\frac{α}{2}$，得出α的范围．

解答 解：（1）设C（x，y），则D（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），A（0，$\frac{y}{2}$），
∴k_AB=-$\frac{y}{2}$，k_AC=$\frac{y}{2x}$，
∵AB⊥AC，
∴-$\frac{y}{2}$•$\frac{y}{2x}$=-1，即y²=4x，
∴点C的轨迹方程是y²=4x．
（2）①当直线BC无斜率时，直线BC的方程为x=1，此时C（1，2），E（1，-2），
P与B重合，M（0，$\sqrt{3}$），N（0，-$\sqrt{3}$），∴∠MPN=120°；
②当直线BC有斜率时，设直线BC的方程为y=k（x-1），
代入y²=4x得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设C（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴|CE|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴圆P的半径r=$\frac{1}{2}$|CE|=2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
P到y轴的距离d=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
∴cos$\frac{α}{2}$=$\frac{d}{r}$=$\frac{1+\frac{2}{{k}^{2}}}{2+\frac{2}{{k}^{2}}}$=1-$\frac{1}{2+\frac{2}{{k}^{2}}}$，
∵k²＞0，∴$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{α}{2}$＜1，
又0°＜$\frac{α}{2}$＜90°，∴0°＜$\frac{α}{2}$＜60°，
∴0°＜α＜120°．
综上，α的最大值为120°．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．