Question

【题目】已知点，点P是圆C：上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．

求点M的轨迹方程；

过点作直线与点M的轨迹交于点E，过点作直线与点M的轨迹交于点F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值.

【解析】

（1）根据中垂线的性质得出，然后计算出，结合椭圆的定义得知点的轨迹为椭圆，可得出和的值，进而求得的值，于是可得出点的轨迹方程；

（2）设直线的方程为，则直线的方程为，将直线、的方程分别与曲线的方程联立，利用韦达定理求出的点的坐标，然后利用两点间的斜率公式求出直线的斜率，从而证明结论．

（1）如下图所示，

连接，则，

又，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，

因为，所以．

故点的轨迹方程是；

（2）设直线的方程为，则直线的方程为，

由，消去整理得．

设交点、，

则，．

由，消去整理得，

则．

所以，．

故直线的斜率为定值，其斜率为．