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    如图所示,AB是☉O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:

    (1)EF⊥FB;

    (2)∠DFB+∠DBC=90°.


    证明:(1)连接AD.

    在△ADB和△EFB中,

    ∵BD·BE=BA·BF,

    ∴=.

    又∠DBA=∠FBE,

    ∴△ADB∽△EFB,

    又∵AB为☉O直径,

    ∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.

    (2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,

    ∴E、F、A、D四点共圆,

    ∴∠DFB=∠AEB.

    又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,

    ∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.


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