Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-1，0）、F₂（1，0）是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点（1，

3

2

）．
（1）求该椭圆方程；
（2）过点F₁且倾斜角等于

3

4

π的直线l，交椭圆于M、N两点，求△MF₂N的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：y=-x-1．由

y=-x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出△MF₂N的面积．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁（-1，0）、F₂（1，0）是椭圆的左右焦点，
且椭圆经过点（1，

3

2

），
∴

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…6分
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l：y=-x-1．…8分
由

y=-x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，…10分
△＞0，x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
S△MF2N=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|
=|y₁-y₂|=|（-x₁-1）-（-x₂-1）|=|x₂-x₁|
=

(x2+x1)2-4x1x2

=

(- 8 7 )2+4× 8 7

=

12 2

7

．…14分．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．