Question

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

Answer 1

解：(1)∵当x＞0，y＞0时，f＝f(x)－f(y)，

∴令x＝y＞0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

(2)设x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁＜x₂，

则f(x₂)－f(x₁)＝f，

∵x₂＞x₁＞0，∴＞1，∴f＞0.

∴f(x₂)＞f(x₁)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．

∴f(x)_min＝f(1)＝0，f(x)_max＝f(16)，

∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，

知f＝f(16)－f(4)，

∴f(16)＝2f(4)＝4，

∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．