Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）= （其中a∈R）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数h（x）=f′（x）+g（x）﹣1，试确定h（x）的单调区间及最值；
（3）求证：对于任意的正整数n，均有 ＞ 成立．（注：e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）=xlnx，（x＞0），f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

∴f（x）的极小值是f（ ）=﹣ ；

（2）解：h（x）=f′（x）+g（x）﹣1=lnx+ ，（x＞0），

h′（x）= ﹣ = ，

①a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最值，

②a＞0时，令h′（x）＞0，解得：x＞a，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴h（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

∴h（x）min=h（a）=1+lna，

（3）证明：取a=1，由（Ⅱ）知，h（x）=lnx+ ≥f（1）=1，

∴ ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，

分别取 x=1，2，…，n得 ≥ ，

≥ ， ≥ ，…， ≥ ，

将以上各式相乘，得： ＞ 成立．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（3）令a=1，得到 ≥1﹣lnx=ln ，亦即 ≥ ，分别取 x=1，2，…，n，相乘即可．
【考点精析】利用基本求导法则和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．