Question

3．已知点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由题意先求出准线方程x=-2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．

解答 解：∵点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，
即准线方程为：x=-2，
∴p＞0，
∴-$\frac{p}{2}$=-2即p=4，
∴抛物线C：y²=8x，在第一象限的方程为y=2$\sqrt{2}$$\sqrt{x}$，
设切点B（m，n），则n=2$\sqrt{2}\sqrt{m}$，
又导数y′=2$\sqrt{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}$，则在切点处的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，
∴$\frac{n-3}{m+2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$即$\sqrt{2}$m+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$m-3$\sqrt{m}$，
解得$\sqrt{m}$=2$\sqrt{2}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为$\frac{8-0}{8-2}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．