Question

已知a≥0，函数=(x²-2ax)e^x.

       (1)当x为何值时，取得最小值？证明你的结论;

       (2)设在［－1,1］上是单调函数，求a的取值范围.

      

Answer 1

解析：(1)对函数求导数,得?

       f′(x)=(x²-2ax)e^x+(2x-2a)e^x?

       =［x²+2(1-a)x-2a］e^x.?

       令f′(x)=0,得［x²+2(1-a)x-2a］e^x=0,?

       从而x²+2(1-a)x-2a=0.?

       解得x₁=a-1-,x₂=a-1+,其中x₁<x₂.?

       当x变化时,f′(x)、的变化如下表:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

       当在x=x₁处取到极大值,在x=x₂处取到极小值.?

       当a≥0时,x₁<-1,x₂≥0.?

       在 (x₁,x₂)上为减函数,在(x₂,+∞)上为增函数.?

       而当x<0时, =x(x-2a)e^x>0;?

       当x=0时, =0.?

       所以当x=a-1+时, 取得最小值.?

       (2)当a≥0时, 在［-1,1］上为单调函数的充要条件是x₂≥1，即a-1+≥1.

       解得a≥.?

       综上, 在［-1,1］上为单调函数的充分必要条件为a≥，即a的取值范围是［,+∞).