Question

18．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的右焦点F作斜率k=-1的直线交椭圆于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}与\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形AOB的面积S_△AOB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设AB：y=-x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，通过$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}与\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共线，即可求解椭圆的离心率．
（2）利用第一问的结果a²=3b²，设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，AB：y=-x+$\sqrt{2}$b，联立方程组，通过韦达定理求解|AB|，O到AB距离，通过三角形的面积，即可求解椭圆方程．

解答 解：（1）设AB：y=-x+c，直线AB交椭圆于两点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}\\ y=-x+c\end{array}\right.$，⇒b²x²+a²（-x+c）²=a²b²，
（b²+a²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{a}^{2}c-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），与$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{3}）$共线，
可得3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，3（-x₁+c-x₂+c）-（x₁+x₂）=0${x_1}+{x_2}=\frac{3c}{2}，{a^2}=3{b^2}，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\frac{{\sqrt{6}a}}{3}，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}…{6^'}$
（2）由a²=3b²，可设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，c²=3b²-b²=2b²，$c=\sqrt{2}b$，
AB：y=-x+$\sqrt{2}$b，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+\sqrt{2}b\\ \frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\end{array}\right.$，可得：${x}^{2}+3（-x+\sqrt{2}b）^{2}=3{b}^{2}$，
即$4{x}^{2}-6\sqrt{2}bx+3{b}^{2}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}b$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{3{b}^{2}}{4}$，
AB的距离为：|AB|=$\sqrt{1+1}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{（\frac{3\sqrt{2}b}{2}）}^{2}-4×\frac{3{b}^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}b$，
O到AB距离$d=\frac{{\sqrt{2}b}}{b}=b（10分）$．
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|*d=\frac{\sqrt{3}}{2}{b}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=1．a=\sqrt{3}$，
椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1（12分）$．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，韦达定理以及弦长公式三角形面积公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．