Question

已知函数y=f（x），对任意的两个不相等的实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）成立，且f（0）≠0，则f（-5）•f（-3）•f（-1）•f（1）•f（3）•f（5）的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x₁=1，x₂=0，可得f（1）=f（1）•f（0），①；再令x₁=-1，x₂=1，则f（-1+1）=f（1）•f（-1）=f（0），②；①②联立可得f（1）f（-1）=1；同理可得f（-3）f（3）=1，f（-5）f（5）=1，于是可得答案．

解答： 解：令x₁=1，x₂=0，
则f（1+0）=f（1）•f（0），即f（1）=f（1）•f（0），①
再令x₁=-1，x₂=1，则f（-1+1）=f（1）•f（-1）=f（0），②
由①②得：f（1）•f（0）•f（-1）=f（0），
所以，f（0）[f（1）f（-1）-1]=0，又f（0）≠0，
所以f（1）f（-1）-1=0，即f（1）f（-1）=1；
同理可得，f（-3）f（3）=1，f（-5）f（5）=1，
所以，f（-5）•f（-3）•f（-1）•f（1）•f（3）•f（5）=1，
故答案为：1．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，求得f（1）f（-1）=1是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．