Question

15．设集合M=[0，$\frac{1}{2}$），N=[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈M}\\{2（1-x），x∈N}\end{array}\right.$．若x₀∈M且f（f（x₀））∈M，则x₀的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． [0，$\frac{3}{8}$]
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据分段函数的解析即可求出x₀的范围．

解答 解：∵0≤x₀＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x₀））∈[$\frac{1}{2}$，1]⊆N，
∴f（f（x₀））=2（1-f（x₀））=2[1-（x₀+$\frac{1}{2}$）]=2（$\frac{1}{2}$-x₀），
∵f（f（x₀））∈M，
∴0≤2（$\frac{1}{2}$-x₀）＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$＜x₀≤$\frac{1}{2}$
∵0≤x₀＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$＜x₀＜$\frac{1}{2}$
故选：D

点评 本题考查 了集合的含义及表示、函数的单调性、最值、以及分段函数的性质，属于中档题．