Question

6．在R上定义运算：$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc．若不等式$|\begin{array}{l}{x-1}&{a-2}\\{a+1}&{x}\end{array}|$≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 依定义将不等式$|\begin{array}{l}{x-1}&{a-2}\\{a+1}&{x}\end{array}|$≥1变为x²-x-（a²-a-2）≥1，整理得x²-x+1≥a²-a，对任意实数x成立，令（x²-x+1）_min≥a²-a，解出a的范围即可求出其最大值．

解答 解：由定义知不等式$|\begin{array}{l}{x-1}&{a-2}\\{a+1}&{x}\end{array}|$≥1变为x²-x-（a²-a-2）≥1，
∴x²-x+1≥a²-a，对任意实数x成立，
∵x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$，
∴a²-a≤$\frac{3}{4}$．
解得$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{2}$．
则实数a的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查利用恒成立的关系构建关于参数的不等式及一元二次不等式的解法，是中档题．