Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在一周期内，当x=时，y取得最大值3，当x=时，y取得最小值-3．
求：
（1）函数f（x）的解析式；并求函数f（x） 的单调增区间和对称轴方程；
（2）当x∈[-，]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵在一周期内，函数当x=时取得最大值3，当x=时取得最小值-3．
∴正数A=3，周期T满足==，得T=π，所以ω==2
因此，函数表达式为f（x）=3sin（2x+φ），
将点（，-3）代入，得-3=3sin（2×+φ），即sin（2×+φ）=-1
∴+φ=-+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=
综上所述，f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）
令-+2kπ＜2x+＜+2kπ，解得-+kπ＜x＜+kπ，k∈Z
∴函数f（x） 的单调增区间为（-+kπ，+kπ），k∈Z
由2x+=+2kπ，解得x=+kπ，k∈Z
∴函数图象的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．
（2）∵x∈[-，]，
∴2x+∈[-，]，可得-≤sin（2x+）≤1
即得-≤3sin（2x+）≤3
因此，函数f（x）=3sin（2x+）的值域为[-，3]．
分析：（1）根据函数在一个周期内的最大、最小值及相应的x值，可得A=3且ω=2，再由函数在x=时取得最小值-3，列式解出φ=，由此得到函数的表达式，最后根据三角函数单调区间和对称轴方程的结论，可得函数的单调增区间和对称轴方程．
（2）当x∈[-，]时，可得2x+∈[-，]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f（x）的值域．
点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数f（x）的单调区间和闭区间上的值域，着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．