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如图,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,为侧棱上的点。
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若平面,求二面角的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱上是否存在一点, 使得平面。若存在,求的值;若不存在,试说明理由。
解法一:
(Ⅰ);连,设交于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。
设底面边长为,则高。  于是    
          
     故          从而  
(Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为
(Ⅲ)在棱上存在一点使.由(Ⅱ)知是平面的一个法向量,
且  
设       则     
而          即当时,       
不在平面内,故
解法二:(Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长,则
,所以,
,由(Ⅰ)知,所以,     
,所以是二面角的平面角。
,知,所以,
即二面角的大小为
Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使
由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.
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