Question

7．已知函数f（x）=-x³+2ax在（0，1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 求出函数的导函数，由函数f（x）=-x³+2ax在（0，1]上单调递增，所以f′（x）=-3x²+2a≥0在（0，1]上恒成立，分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围．

解答 解：由f（x）=-x³+2ax，所以f′（x）=-3x²+2a，
因为f（x）=-x³+2ax在（0，1]上是单调递增函数，
所以f′（x）=-3x²+2a≥0在（0，1]上恒成立．
即2a≥3x²，在（0，1]上恒成立．
因为函数y=3x²≤3在（0，1]上恒成立，
所以a≥$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．