Question

8．已知f（x）=ax²+bx+c，a，b，c均为正数，f（-1）=0，设（f（x））ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…+a_2nx²ⁿ，当a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1024时，ac的最大值为1．

Answer 1

分析 由已知可得a-b+c=0，即b=a+c，则f（x）=（ax+1）（x+c），令n=5，x=1，则[（a+1）（1+c）]⁵=a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1024，即（a+1）（1+c）=4，结合基本不等式，可得ac的最大值．

解答 解：∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，即b=a+c，
∴f（x）=ax²+（a+c）x+c=（ax+1）（x+c），
由（f（x））ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…+a_2nx²ⁿ，可得：
当n=5，x=1时，
[（a+1）（1+c）]⁵=a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=1024，
故（a+1）（1+c）=4，
即ac+a+c=3，
即3≥ac+2$\sqrt{ac}$，
解得：$\sqrt{ac}$∈（0，1]，
故ac的最大值为1，
故答案为：1

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，基本不等式的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．