Question

11．已知cos（π+α）=$\frac{4}{5}$，且$\frac{π}{2}$＜α＜π．
（Ⅰ）求5sin（α+π）-4tan（3π-α）的值
（Ⅱ）若0＜β＜$\frac{π}{2}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求sin（$\frac{π}{2}$+2β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα，tanα，根据诱导公式化简所求即可计算得解．
（Ⅱ）利用角的范围及同角三角函数基本关系式可求sin（β-α）的值，利用两角和的余弦函数公式可求cosβ=cos[（β-α）+α]的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cos（π+α）=$\frac{4}{5}$=-cosα，且$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴cosα=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴5sin（α+π）-4tan（3π-α）=-5sinα+4tanα=（-5）×$\frac{3}{5}$+4×（-$\frac{3}{4}$）=-6．
（Ⅱ）∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴-π＜β-α＜0，可得：sin（β-α）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×（-$\frac{4}{5}$）-（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$
∴sin（$\frac{π}{2}$+2β）=cos2β=2cos²β-1=-$\frac{117}{125}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．