Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3． 将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且 ．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，
由题知 ，又 ，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，
因为PR，RQ平面ADE，
且AD，DE平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，
又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．
（Ⅱ）解：由题EA=ED=5， ，设点O到平面ADE的距离为d，
则由等体积法可得 ，
故 ，因此 ．
【解析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．