Question

函数y=x 

3

2

+（1-x） 

3

2

，0≤x≤1的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：通过x+（1-x）=1，且0≤x≤1我们可以把函数转化为三角函数，在通过有最大最小值的函数，他的最值一定是在导数为0的地方来求解．

解答： 解：∵x+（1-x）=1，且0≤x≤1
∴可以令x=sin²α，1-x=cos²α 
∴y=x 

3

2

+（1-x） 

3

2

=sin³α+cos³α
∴y′=3sin²αcosα-3cos²αsin²α
因为这个这个函数必定有最值，所以最值一定在导数为0的地方取得
∴可令y′=0
∴α={

kπ

2

，kπ+

π

4

}
代入求得最小值为：
y=-

2

2

点评：通过观察可以发现x+（1-x）=1，故可以联想到三角函数，并转化为三角函数的最值问题．我们也可以得出只要两个数的和为1，都可以用三角函数进行代换．